【重點題型】極限與導數 - 大一微積分常考試題解析

English version

極限的概念是微積分的基礎，也是連接微分和積分的重要橋梁。本單元將聚焦於極限的計算，以及如何利用極限求出導數、導函數和漸進線。

目錄

極限的精確定義 合成函數的極限 夾擠定理 導數定義 求漸進線

極限的精確定義

不要小看這個觀念，在高中時我們學的是極限的直觀定義，但到了大學端的定義有所不同，反而會是教授命題的重點。這裡為大家複習一下極限的精確定義：

We write\[\lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=L\]

if for every number \(\delta \gt 0\) there is a number \(\varepsilon \gt 0\) such that

\(\bbox[#e0ebeb,5px,border:3px solid #b3f0ff]{\text{if}~0<\left|x-a\right|<\delta~~~ \text{then}~~  \left|f(x)-L\right|<\varepsilon}\)

廢話不多說，直接上一道例題：

Let \(A=\{0.6,0.7,0.8,0.9\},\) Find the largest number, \(\delta\) , in \(A\) such that \(\left|\sqrt{4x+5}-3\right|\lt0.6\), whenever \(\left|x-1\right|\lt\delta\).

(A) 0.6 ,      (B) 0.7 ,      (C) 0.8 ,      (D) 0.9 .

【交大100】

由左式可以得到：

\begin{aligned} &−0.6\lt\sqrt{4x+5}−3\lt0.6\\ &\Rightarrow2.4\lt\sqrt{4x+5}\lt3.6\\ &\Rightarrow5.76\lt\sqrt{4x+5}\lt12.96\\ &\Rightarrow0.76\lt4x\lt7.96\\ &\Rightarrow0.19\lt x\lt1.99\\ &\Rightarrow−0.81\lt x−1\lt0.99 \end{aligned}

到這邊應該都不難，但接下來就是抉擇的時候了，是要選0.81還是0.99呢？回頭看題目，要找的是 largest number，也就是0.99，所以選不比0.99大的 (D) 0.9。

這樣你就錯了。請看下圖：

\begin{array}{rrr} -0.81\overset{0.81}{\longleftrightarrow} x\overset{0.99}{\longleftrightarrow}0.99\\\hline \end{array}

如果讓 \(\delta=0.99\)，\(x\)最小會到-0.9，已經超出了-0.81的限制。所以雖然題目是要選 largest number，但所求應該是\(\color{orange}{min}(0.81,0,99)=0.81\)。所以選 (C)0.8。

合成函數的極限

極限除了四則運算皆可分裂外（當然，要兩者極限都存在），剩下比較重要的公式大概就是這個了：

if \(f\) is continuous at \(b\) and \(\lim\limits_{x\to a}g(x) = b\), then\[\bbox[#e0ebeb,5px,border:3px solid #b3f0ff]{\lim\limits_{x\to a}f(g(x)) = f\left(\lim\limits_{x\to a}g(x)\right)}\]

不信的話看一題範例：

\(\text{Evaluate the limit of } \lim\limits_{{x \to 0}} \left( \dfrac{1}{\ln(x+1)} - \dfrac{x+1}{x} \right)^2.\)

\(\text{(A) } 0;~ \text{(B) } \dfrac{1}{4}; ~\text{(C) } 1; ~\text{(D) } \text{nonexistent}.\)

【交大99】

用上面的公式我們只要計算 

\[\lim\limits_{{x \to 0}} \left( \dfrac{1}{\ln(x+1)} - \dfrac{x+1}{x} \right) = \lim\limits_{{x \to 0}} \dfrac{x - (x+1) \ln(x+1)}{x \ln(x+1)}\]

之後再平方就好，不用先平方再求極限，否則會浪費很多時間和力氣。

這個公式還可以用在一些證明，後面指數的不定型極限也用的到。

夾擠定理

夾擠定理在高中和大學都是個讓人又愛又恨的東西，愛的是如果看出了上下界函數基本上就可以秒殺，恨的是有時候根本要「通靈」才看的出來。所以一般實在是山窮水盡的時候才會想要去用夾擠定理。不過還是有一些能更容易看破的方法，請看例題：

\(\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{\ln{x}}{x^e}\dfrac{x^\pi}{e^x}\right) =\)

(A) \(\infty\) ,    (B) \(\pi\) ,   (C) \(\dfrac{e}{\pi}\) ,   (D) \(0\) .

【交大100】

夾擠定理破題的其中一個關鍵在逆向思考，也就是從結果反推過程。更精確地說，是由題目的四個選項來猜測可能的上下界函數。

小時候老師都教過(?)數學不會的時候就猜0，假如答案是0的話，分母要趨近於無窮大， \(x^e\)和\(e^x\)都符合條件，但選擇\(e^x\)通常應該比較方便(微分後自身不變)。所以我們得到：

\[\dfrac{1}{e^x}\lt \dfrac{\ln{x}}{x^e}\dfrac{x^\pi}{e^x}\lt \dfrac{x^\pi}{e^x}\]

這裡也不須用羅必達，直觀就可得到：

\[\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{e^x} = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^\pi}{e^x} = 0\]

所以由夾擠定理可知：

\[\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{\ln{x}}{x^e}\dfrac{x^\pi}{e^x}\right) = 0\]

導數定義

導數和導函數都是以極限定義的，但有了微分公式後很多人就會忘了它們最初的定義，所以偶爾會出現回歸定義反而比較好解的題目：

\(\text{Let } f(x) = \dfrac{\tan 2x \cdot \cos^{-1} x + \ln(1+x)}{3 \sec^3 x + x^3 \sin^{-1} x}. \text{ Find } f'(0).\)

【台大105】

如果用微分公式顯然就中計了，整條式子會變得超級長，所以要運用導數定義：

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}  = \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{3 \sec^2 x + x^3 \sin^{-1} x} \cdot \left( \frac{2 \tan 2x}{2x} \cos^{-1} x + \frac{\ln(1+x)}{x} \right)\]

\[= \frac{1}{3} \left( 1 \cdot 2 \cdot \frac{\pi}{2} + 1 \right) = \frac{\pi + 1}{3}\]

求漸進線

極限還可以用來求導數和導函數，但其實有了微分公式就用不太到了，反而是在求漸進線時一定會用到。雖然這裡還沒詳細提到，但我想先用極限性質證明一個後面會用到，求漸進線滿方便的公式：(只證正無窮，負無窮亦然)

A function \(f(x)\) has a has a slant asymptote \(y=ax+b\) if \[\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right] = 0\]

then \[\bbox[#e0ebeb,5px,border:3px solid #b3f0ff]{\left\{\begin{array}{l}a = \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x} \\b = \lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-ax\right) \end{array}\right. }\]

To find \( a \), consider the expression for \( \dfrac{f(x)}{x} \):

\[\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{ax + b + (f(x) - (ax + b))}{x} = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{f(x) - (ax + b)}{x}\]

Taking the limit as \( x \to \infty \):

\[\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{f(x) - (ax + b)}{x} \right)\]

Since \( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{b}{x} = 0 \) and \( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - (ax + b)}{x} = 0 \) (because \( f(x) - (ax + b) \to 0 \) by definition of the slant asymptote), we get:

\[\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = a ~~.\]

To find \( b \), consider the expression for \( f(x) - ax \):

\[f(x) - ax = (ax + b + (f(x) - (ax + b))) - ax = b + (f(x) - (ax + b))\]

Taking the limit as \( x \to \infty \):

\[\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = \lim\limits_{x \to \infty} \left( b + (f(x) - (ax + b)) \right)\]

Since \( \lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - (ax + b)) = 0 \), we get:

\[\lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b ~~.\]

Therefore, if \( f(x) \) has a slant asymptote \( y = ax + b \) when \( x \to \infty \), then \( a = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} \) and \( b = \lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - ax) \).

了解這個公式後，後面再搭配羅必達等方法求漸進線就容易多了。