【重點題型】微分公式 - 大一微積分常考試題解析
微分公式可以為我們省下大量用極限求導數或導函數的時間。本單元將著重於探討鏈鎖律、隱函數的微分和反函數的導數。
鏈鎖律
鏈鎖律非常實用，使用羅必達時很常會搭配鏈鎖律，但因為其實就是按部就班套公式，頂多有點複雜，所以通常會搭配別的觀念出題，本身只是配角。看一題範例：
\( \text{Find the derivative of } ~y = \left( \tan^{-1} x \right)^{\sin x}, x > 0 .\)
【台大105】
看到指數有變數或高次因式相乘除，不論是取極限還是求導，一般可以換成以\(e\)為底或取\(\ln\)。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} e^{\sin x \cdot \ln(\tan^{-1} x)} \]
\[ = e^{\sin x \cdot \ln(\tan^{-1} x)} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sin x
\cdot \ln(\tan^{-1} x) \right) \]
\[ = e^{\sin x \cdot \ln(\tan^{-1} x)} \cdot \left( \cos x \cdot
\ln(\tan^{-1} x) + \sin x \cdot \frac{d}{dx} \left( \ln(\tan^{-1} x)
\right) \right) \]
\[ = e^{\sin x \cdot \ln(\tan^{-1} x)} \cdot \left( \cos x \cdot
\ln(\tan^{-1} x) + \sin x \cdot \frac{1}{\tan^{-1} x} \cdot \frac{1}{1 +
x^2} \right) \]
\[ = \left( \tan^{-1} x \right)^{\sin x} \cdot \left( \cos x \cdot
\ln(\tan^{-1} x) + \frac{\sin x}{(1 + x^2) \cdot \tan^{-1} x} \right)
.\]
如果你平常做題目是比較粗心的那一種(就像我)，在寫比較複雜的鏈鎖律題目時最好像上面這樣分幾個步驟寫，以免一時疏忽而前功盡棄。
隱函數微分
隱函數的微分是大家在高中時比較少接觸的內容，但其實就對\(x\)微分，將\(y\)視為\(x\)的函數，再套用鏈鎖律即可。例如：
\[\dfrac{d}{dx}\ln y\ = {\color{#e6e6e6}{\left(\dfrac{d}{dx}\ln f(x) =
\dfrac{1}{f(x)}f^{\prime}(x) \right)}} = \dfrac{y^{\prime}}{y} \]
當然，灰色的部分熟了之後在心裡想就好了，不用寫出來。
來看範例：
\(\text{Suppose that } y^x + x \cos(y^2) + y = 2. \text{ Find }
\dfrac{dy}{dx} \bigg|_{(0,1)}.\)
【台大112】
看到指數有變數，換成以\(e\)為底：
\[e^{x \ln y} + x \cos(y^2) + y = 2 \]
\[e^{x \ln y} \left( \ln y + \frac{x}{y} y' \right) + \cos(y^2) - 4xy
\cos(y^2) \sin(y^2) y' + y' = 0 \]
\((0,1)\)代入：
\[e^0 \left( \ln 1 + 0 \cdot y' \right) + \cos(1) - 0 \cdot y' + y' = 0
\]
\[1 \cdot (0 + 0) + \cos(1) + y' = 0 \]
\[y' = -\cos(1)\]
反函數的導數
有時候題目要求反函數的導數或導函數，但反函數並不好求，所以此時有更方便的方法：
\(假設 f 與 f^{−1} 互為反函數，根據定義 \)
\[f(f^{-1}(x)) = x\]
等號兩邊同時微分，使用鏈鎖律：
\[f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1\]
故得知
\[\bbox[#e0ebeb,5px,border:3px solid #b3f0ff]{(f^{-1})'(x) =
\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}}\]
要怎麼用呢？請看範例：
\(\text{Let } f(x) = x + e^{2(x-1)}.\)
\(\text{Find } f^{-1}(2) \text{ and } (f^{-1})'(2).\)
【台大111】
Sol:
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