【重點題型】微分公式 - 大一微積分常考試題解析

微分公式可以為我們省下大量用極限求導數或導函數的時間。本單元將著重於探討鏈鎖律、隱函數的微分和反函數的導數。

目錄

鏈鎖律 隱函數微分 反函數的導數

鏈鎖律

鏈鎖律非常實用，使用羅必達時很常會搭配鏈鎖律，但因為其實就是按部就班套公式，頂多有點複雜，所以通常會搭配別的觀念出題，本身只是配角。看一題範例：

$\text{Find the derivative of } ~y = \left( \tan^{-1} x \right)^{\sin x},  x > 0 .$

【台大105】

看到指數有變數或高次因式相乘除，不論是取極限還是求導，一般可以換成以$e$為底或取$\ln$。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} e^{\sin x \cdot \ln(\tan^{-1} x)}$$

$$= e^{\sin x \cdot \ln(\tan^{-1} x)} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sin x \cdot \ln(\tan^{-1} x) \right)$$

$$= e^{\sin x \cdot \ln(\tan^{-1} x)} \cdot \left( \cos x \cdot \ln(\tan^{-1} x) + \sin x \cdot \frac{d}{dx} \left( \ln(\tan^{-1} x) \right) \right)$$

$$= e^{\sin x \cdot \ln(\tan^{-1} x)} \cdot \left( \cos x \cdot \ln(\tan^{-1} x) + \sin x \cdot \frac{1}{\tan^{-1} x} \cdot \frac{1}{1 + x^2} \right)$$

$$= \left( \tan^{-1} x \right)^{\sin x} \cdot \left( \cos x \cdot \ln(\tan^{-1} x) + \frac{\sin x}{(1 + x^2) \cdot \tan^{-1} x} \right) .$$

如果你平常做題目是比較粗心的那一種(就像我)，在寫比較複雜的鏈鎖律題目時最好像上面這樣分幾個步驟寫，以免一時疏忽而前功盡棄。

隱函數微分

隱函數的微分是大家在高中時比較少接觸的內容，但其實就對$x$微分，將$y$視為$x$的函數，再套用鏈鎖律即可。例如：

$$\dfrac{d}{dx}\ln y\ = {\color{#e6e6e6}{\left(\dfrac{d}{dx}\ln f(x) = \dfrac{1}{f(x)}f^{\prime}(x) \right)}} = \dfrac{y^{\prime}}{y}$$

當然，灰色的部分熟了之後在心裡想就好了，不用寫出來。 來看範例：

$\text{Suppose that } y^x + x \cos(y^2) + y = 2. \text{ Find } \dfrac{dy}{dx} \bigg|_{(0,1)}.$

【台大112】

看到指數有變數，換成以$e$為底：

$$e^{x \ln y} + x \cos(y^2) + y = 2$$

$$e^{x \ln y} \left( \ln y + \frac{x}{y} y' \right) + \cos(y^2) - 4xy \cos(y^2) \sin(y^2) y' + y' = 0$$

$(0,1)$代入：

$$e^0 \left( \ln 1 + 0 \cdot y' \right) + \cos(1) - 0 \cdot y' + y' = 0$$

$$1 \cdot (0 + 0) + \cos(1) + y' = 0$$

$$y' = -\cos(1)$$

反函數的導數

有時候題目要求反函數的導數或導函數，但反函數並不好求，所以此時有更方便的方法：

$假設 f 與 f^{−1} 互為反函數，根據定義$

$$f(f^{-1}(x)) = x$$

等號兩邊同時微分，使用鏈鎖律：

  $$f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$$

故得知 

$$\bbox[#e0ebeb,5px,border:3px solid #b3f0ff]{(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}}$$

要怎麼用呢？請看範例：

$\text{Let } f(x) = x + e^{2(x-1)}.$

$\text{Find } f^{-1}(2) \text{ and } (f^{-1})'(2).$

【台大111】

Sol: